Вы­ра­зим пло­щадь через синус:

Найдём пе­ри­метр ос­но­ва­ния:

Так как S_бок = P_осн · h, то

Найдём объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: см³.

Вы­ра­зим пло­щадь через синус:

Найдём пе­ри­метр ос­но­ва­ния:

Так как S_бок = P_осн · h, то

Найдём объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: см³.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за AB = 10 см.

Про­ве­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды SH. Так как по усло­вию бо­ко­вые ребра равны, то точна H яв­ля­ет­ся цен­тром опи­сан­ной окруж­но­сти во­круг ос­но­ва­ния. Сле­до­ва­тель­но, точка H  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AB. Тогда AH = HB = 5 см.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AHS. По усло­вию AS = AH = 5 см. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем SH:

Тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 2 см. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пи­ра­ми­ды:

Ответ: 16 см³.

Удоб­но будет счи­тать тре­уголь­ник ABD ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда от­ре­зок AC будет яв­лять­ся её вы­со­той. Тогда объем пи­ра­ми­ды V равен: Так как тре­уголь­ни­ки ABC и A₁B₁C₁ по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен то Тогда объем ма­лень­кой пи­ра­ми­ды V₁ равен: Тогда объём остав­шей­ся части равен:

Ответ:

Удоб­но будет счи­тать тре­уголь­ник ABD ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда от­ре­зок AC будет яв­лять­ся её вы­со­той. Тогда объем пи­ра­ми­ды V равен: Так как тре­уголь­ни­ки ABC и A₁B₁C₁ по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен то Тогда объем ма­лень­кой пи­ра­ми­ды V₁ равен: Тогда объём остав­шей­ся части равен:

Ответ:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 4. Далее за­ме­тим, что ра­ди­ус впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти, в центр ко­то­рой па­да­ет вы­со­та пи­ра­ми­ды, равен 2, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 4. Объём пи­ра­ми­ды можно найти по фор­му­ле в нашем слу­чае

Ответ:

Диа­го­наль ос­но­ва­ния в два раза боль­ше ра­ди­у­са опи­сан­ной окруж­но­сти. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 6. Далее за­ме­тим, что ра­ди­ус впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти равен 3, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 6. Объём пи­ра­ми­ды можно найти по фор­му­ле в нашем слу­чае

Ответ: 36.

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис).

Вы­со­та ко­ну­са од­но­вре­мен­но яв­ля­ет­ся вы­со­той приз­мы, в ко­то­рую он впи­сан. Ра­ди­ус r окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние приз­мы (рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник). Вы­ра­зим сто­ро­ну AB ос­но­ва­ния приз­мы:

Те­перь вы­ра­зим объёмы ко­ну­са и приз­мы:

Таким об­ра­зом, объём приз­мы боль­ше объёма ко­ну­са в раз. Имеем:

Ответ: 54 см³.

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис).

Вы­со­та ко­ну­са од­но­вре­мен­но яв­ля­ет­ся вы­со­той приз­мы. Ра­ди­ус R окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су окруж­но­сти, опи­сан­ной около ос­но­ва­ния приз­мы (рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка). Вы­ра­зим сто­ро­ну AB ос­но­ва­ния приз­мы:

Те­перь вы­ра­зим объёмы ко­ну­са и приз­мы:

Таким об­ра­зом, объём приз­мы боль­ше объёма ко­ну­са в раз. Имеем:

Ответ: 27 см³.

Про­ведём вы­со­ты FN и LM пи­ра­мид FABC и В тре­уголь­ни­ках FAN и LAM угол   — общий, а углы и   — пря­мые, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, от­ку­да:

За­ме­тим, что:

Так как BK  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC, то Тогда:

Най­дем от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: 7:1.

Про­ведём вы­со­ты FN и LM пи­ра­мид FABC и В тре­уголь­ни­ках FBN и LBM угол   — общий, а углы и   — пря­мые, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, от­ку­да:

За­ме­тим, что:

Так как AH  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC, то Тогда:

Най­дем от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: 3:2.

Ис­ко­мый мно­го­гран­ник со­сто­ит из двух рав­ных пи­ра­мид с общим ос­но­ва­ни­ем APC. Так как бо­ко­вые грани пра­виль­ной приз­мы по усло­вию рав­ные квад­ра­ты, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна 108, то пло­щадь од­но­го та­ко­го квад­ра­та равна 108 : 3  =  36, от­ку­да по­лу­ча­ем, что длина ребра приз­мы равна 6. От­ре­зок AC  =  3, так как яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка BDK. Ана­ло­гич­но на­хо­дим AP  =  PC  =  3. Тогда тре­уголь­ник APC  — пра­виль­ный и его пло­щадь равна Тогда объём ис­ко­мо­го мно­го­гран­ни­ка равен:

Ответ:

Ис­ко­мый мно­го­гран­ник со­сто­ит из двух рав­ных пи­ра­мид с общим ос­но­ва­ни­ем MKPE. Так как бо­ко­вые грани пра­виль­ной приз­мы по усло­вию рав­ные квад­ра­ты, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна 100, то пло­щадь од­но­го та­ко­го квад­ра­та равна 100 : 4  =  25, от­ку­да по­лу­ча­ем, что длина ребра приз­мы равна 5. От­ре­зок так как яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка BAC. Ана­ло­гич­но на­хо­дим Четырёхуголь­ник MKPE  — квад­рат, пло­щадь ко­то­ро­го равна Тогда объём ис­ко­мо­го мно­го­гран­ни­ка равен:

Ответ:

Пусть диа­го­наль B₁D на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом Тогда тре­уголь­ник B₁BD  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁C по­лу­чим:

Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния:

Вы­чис­лим объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 4,5 см³.

Рас­смот­рим угол между плос­ко­стя­ми бо­ко­вых гра­ней AA₁B и AA₁D. как сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ков AA₁В₁B и AA₁D₁D со­от­вет­ствен­но. Тогда яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми AA₁B и AA₁D и по усло­вию равен

Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния:

Най­дем боль­шую диа­го­наль ромба:

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AA₁C яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, так как его ги­по­те­ну­за A₁C со­став­ля­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол, рав­ный Тогда

Най­дем объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 324 см³.

На при­ве­ден­ном изоб­ра­же­нии видно, что и Также про­ве­де­ны вы­со­ты PF и PM к сто­ро­нам ос­но­ва­ния и вы­со­та пи­ра­ми­ды В тре­уголь­ни­ках PFB и PMB ги­по­те­ну­за общая, а углы, при­ле­жа­щие к ней, равны по усло­вию, тогда эти тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу, от­ку­да, как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты, Так как HB  — общая сто­ро­на, то тре­уголь­ни­ки BHF и BHM равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе. Тогда и BH  — бис­сек­три­са сле­до­ва­тель­но,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке PFB из­вест­но, что:

Тогда

В тре­уголь­ни­ке FBH имеем:

Из тре­уголь­ни­ка PHF по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Рас­счи­та­ем объём пи­ра­ми­ды:

Ответ:

На при­ве­ден­ном изоб­ра­же­нии видно, что и Также про­ве­де­ны вы­со­ты PF и PM к сто­ро­нам ос­но­ва­ния и вы­со­та пи­ра­ми­ды В тре­уголь­ни­ках PFB и PMB ги­по­те­ну­за общая, а углы, при­ле­жа­щие к ней, равны по усло­вию, тогда эти тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу, от­ку­да, как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты, Так как HB  — общая сто­ро­на, то тре­уголь­ни­ки BHF и BHM равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе. Тогда и BH  — бис­сек­три­са сле­до­ва­тель­но,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке PFB из­вест­но, что:

Тогда

В тре­уголь­ни­ке FBH имеем:

Из тре­уголь­ни­ка PHF по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Рас­счи­та­ем объём пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то её бо­ко­вые ребра равны, зна­чит, тре­уголь­ник APC  — рав­но­бед­рен­ный. Тогда по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка то есть APC  — тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный.

По­сколь­ку то длина бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды равна

В рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке APC имеем: 12 см. PH  — вы­со­та и ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, тогда

Зная, что в ос­но­ва­нии пра­виль­ной пи­ра­ми­ды лежит квад­рат, по­лу­ча­ем, что

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ: 144 см².

Тре­уголь­ник APC  — диа­го­наль­ное се­че­ние пи­ра­ми­ды, так как по усло­вию он пра­виль­ный, то, зная его пло­щадь, най­дем его сто­ро­ну: зна­чит, AC  =  8 см.

Вы­со­та PH пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка APC равна Она же яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды.

Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то её ос­но­ва­нии лежит квад­рат, тогда зна­чит,

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ци­лин­дра:

По усло­вию объем шара в три раза мень­ше объ­е­ма ци­лин­дра, тогда V_шара = 6 см³. Най­дем ра­ди­ус шара:

Так как диа­метр шара боль­ше вы­со­ты ци­лин­дра, то шар не по­ме­стит­ся в ци­линдр.

Ответ: не по­ме­стит­ся.